| 摘要：用构造法解题是一种能很好地开发学生创造性思维，对培养学生的灵活性、创造性能起积极作用的方法。本文通过具体的例子分析说明构造法在中学数学解题中的巧妙应用。
关键词：构造法 转化 数学思维
二十一世纪的教育致力于培养具有创新能力的人才，数学作为一门基础性的理科课程，在它整个学习过程都闪烁着思考的光芒，对培养学生的创造性思维能力具有特殊重大的意义。而数学解题中种种独辟捷径，出人意料的解题方法，更能激发学生创新思维的火花，“构造法”便是其中的一种。
所谓“构造法”，就是在解题时，通过对题设的条件或结论所具有的特征、性质进行深入分析，构造出辅助元素（它可以是一个图形、一个方程、一个函数、一个等价命题等等），架起一座连结条件和结论的桥梁，从而解决数学问题的方法。
构造法作为数学策略中的一部分，虽然存在着种种不足，但它的高效却是十分诱人的，因而在解题时成为许多选手的追求，巧妙的构造可以建立已知与未知、条件与结论、数与形的体系，使本来模糊不清的问题变得层次分明，从而取得出奇制胜的效果。在历史上，许多著名的数学家都曾用构造法解决了不少数学难题，如康托尔通过构造cantor集，证实了存在不可数但测度为0的集合，为数学的发展作出了巨大的贡献；古希腊数学家欧几里德第一次用构造法巧妙地证明了数论中以他的名字命名的基本定理“素数的个数是无穷的”。
构造法的基本思想是“转化”。“转化”指的是把要解决的问题归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，最终获得原问题的解决。实现“转化”的关键是联想，联想是促进“转化”的有力杠杆，当我们面对数学问题时，如果能联想到与之类似的问题、形式，或联想起相应的定理、公式与法则，并将原问题与联想起的问题进行比较、推理，向联想起的问题靠拢，往往就能促进问题的转化。
构造法是一种重要的数学方法，它灵活多样，数学中的许多问题都可以通过构造法来解决，如构造函数、构造模型、构造图形等等。以下，将通过运用构造法解题的具体例子来说明其在代数和几何中的应用。
一、构造法在几何中的应用
在几何题的证明中，有些题目的已知条件和未知条件的关系比较隐蔽，论证途径不甚明朗，对这样的问题我们往往需要针对未知的问题，根据不同几何图形各自特有的性质，以已知为前提，构造出理想的图形，如构造全等三角形、直角三角形、相似三角形、圆、特殊的辅助线等等。通过构造图形，可以使原问题变得更直观，更简单，使解题更方便简捷。以下试举几例说明。
1、构造全等三角形
全等三角形具有对应角相等、对应边相等的性质，所以如果要证明两个角相等或两条线段相等，我们可以利用全等三角形的有关性质,从而构造出两个全等的三角形，并使其对应的元素中包含待证的角或边，以此使问题得证。
例1：设是等腰一腰的中点，自顶点引垂直于中线的直线交底边于。 求证： = 分析：左图中、不在同一个三角形内，且各自所在的三角形既不全等，也不相似，故应设法做辅助线，构造全等三角形。过作交的延长线于，得，这样有=，再证，有=，则=。 证明：过作交的延长线于
∵= =– = (等腰) = = ∴ ∴= ① = 又∵是中点 ∴= ∴= 又 ∵ = ===
∴ ∴== 又由①得 =
∴命题得证
2、构造圆
许多几何问题若仅用直线形的性质解决就比较困难，如果和圆结合，问题可能变得很容易解决，因为圆和直线形的组合图形的性质是非常丰富的，如垂径定理、圆周角性质、圆外切四边形的两组对边之和相等，等等。
例2：已知：在中，，和分别是和的平分线
求证：
分析：在上图中,要证，可考虑构造的外接圆，交于，将线段和放在同一圆中考虑，通过圆周角比较、的大小。
证明：作的外接圆交于，则=
∵AB>AC
又∵和平分和
即
又 ∵BF<BD
∴命题得证
3、构造特殊辅助线
在几何图形中，平行线、角的平分线，三角形的中线和中位线、圆的切线等等具有独特的性质，对我们的解题很有帮助，因此，在解题时只要条件合适，构造此类辅助线解题不失为一种行之有效的方法。
例3：已知为内任一点，连、、，并延长交对边于、、，求证：++=1
分析：三个比例式之间没有直接联系，而比例线段的性质可以用平行线来表现，试图以此挖掘隐含在题目深处的条件。
证明：如右图,过作的平行线交、
于、，则
=，=
+=
∵HG//
===1–
即+=1
++=1
由以上三例可以看到在几何图形上，我们要对几何图形的性质心中有数，对所讨论的问题要清楚，还要有正确的逻辑思维，以便做到在复杂的问题中，敏捷地联想起某些性质，这样才能构造出理想的图形，实现问题的最优解决。
二、构造法在代数中的应用
构造法不仅在几何中应用广泛，在代数中也同样应用广泛，我们可以构造函数、构造方程、构造代数式、构造数列、构造复数等等，甚至还可以构造几何图形来解代数题，实现数与形的完美结合。
1、构造函数解题
在某一研究过程中，量与量之间的关系，一般地都说是函数关系。为探求解题途径引进与它有关的函数，通过对引进函数的探讨来解决问题，这种方法就是构造函数法。函数在我们整个中学数学的内容较多，而且学生对于函数的性质也比较熟悉，选择构造函数法来解决复杂问题，可以训练学生的思维，增强学生的思维的灵活性。很多数学题看起来似乎都很复杂，常常令人难以入手，但若能巧妙地运用函数思想，便能使本来看起来复杂的问题显得简单，解起题目来也就如鱼得水了。 例4：求证：
分析：此题一看似乎无从下手，要证分式的取值范围，直接解分式无法得到结果，在这种情况下，我们可以考虑构造一个函数来解决。
证明：引进函数
=
要证原命题成立，则y的值域为
为此，可用判别式Δ。
由=
得=0
∵x∈R
即
即
2、构造方程解题
方程是从已知探索未知的桥梁，它是解数学题的一个重要工具，许多数学问题经过观察,可以根据其数量关系在已知和未知之间构造出方程，从而使解答显得更简洁，更合理。 例5：已知：=1，=1 ，用表示过点、的直线方程。
求证：在变化时，恒与一定圆相切。
证明：由已知二方程的结构相同，故可做辅助方程为：
=0
则、是该方程的两根
=- ①
= - ②
而过点、的直线方程为：
= ③
将①， ②代入③并整理得：
-1=0
又由于原点到此直线的距离为
==1
所以当变化时，直线恒与一定圆相切。 上面的例5根据题目的条件和结论的特征，构造出方程，从而找到解题的途径。由此我们可以知道：要想构造出理想的方程，使题目解得漂亮，一要看条件，二要看结论的特征，所以我们在平时的练习中，要鼓励学生不要墨守成规，而是要善于观察，善于发现，积极探索，总结规律，这样才能在解决数学问题的同时培养学生的创造性能力。
3、构造复数解题
复数是实数的延伸，在实数集里，如方程没有解，要解决这个问题，就必须将实数扩展，这就是说一些难以解决的实数问题可以通过构造转化为复数问题，从而将复杂问题简单化。 复数它具有代数、几何、三角等多种表示形式以及它的特定性质和运算法则，它们各有特色，在不同场合各有方便之处，在解决其他方面的问题时，是非常有价值的，因此我们可以用构造复数求解许多代数、几何、三角方向的问题，根据问题的特点，将问题的条件和结论复数化，合理地进行复数的运算或推理，从而使问题得以解决；而且通过构造复数可以激发发散思维，培养学生的能力和发展学生的智力。 例6：若且=1，求证
分析：本题左边是两个根式之和，可以借助复数的模和模的性质来证。
证明：设=，=
原式左边=
=
=
=
=
=原式右边
∴命题得证 例7：求证： =
=-3
分析：此题用通常证法都非常繁，但用复数来证则显得简洁容易。
证明：令 =
=
=
∴=
=
=
=
=-
=
∴命题得证 由此可见，构造复数模型，利用复数的性质解决问题，对化简计算、证明论题等都能带来方便，而且通过构造复数来解题还可以培养学生纵横运用知识的解题技巧。
4、构造几何图形解代数题
某些代数题的条件中数量关系具有明显的几何意义，若能将题中条件的数量关系寓于特定的几何图形中，则能迅速、简便地解题。
例8：若,求证：
思路：将原式变为，先考虑等式成立时，可视为托勒密定理形式，构造圆内接四边形，1为最大，故圆直径为1即可。
证明：如右图，作直径为1的圆，为直径。
作= (可以是0到的任意角)
=，、为圆上的点。
则=， =
==
由托勒密定理得=
即 =
因此，
在代数问题上（如例8），可根据其条件中的数量关系的几何意义去构造图形，将题设中的数量关系直接在图形中实现，使得题目的条件和结论之关系更清晰更直观，同时几何定理的作用也被拓宽了。
由以上的例子可以看到：合理地利用构造法解题可以使问题很快地得到解决。我们在利用构造法解题的教学过程中，若能启发学生从多角度，多渠道进行广泛的联想，不仅能得到许多构思巧妙，新颖独特，简捷有效的解题方法，而且还能加强学生对知识的理解，培养思维的灵活性，提高学生创造性分析问题的能力。构造法是一种富有创造性的数学思想方法,它贯穿于整个数学解题过程之中，完善了我们的数学思维，开拓了我们的思路，加深了我们对数学的理解，给人以一种美的享受。运用构造法解决问题,关键在于构造什么和怎么构造，在解题过程中别出心裁的构造可以开拓学生的求异思维能力，这是培养学生勇于创新精神的一种尝试，可以使学生获得的能力不断“内化”到他们的认知结构中，使能力成为学生个体的“本能”，而在他们以后的解题过程中得到充分的展现。
参考文献：
⑴ 李必成，蔡家权 《实用数学题型与解题思路》 福建科学技术出版社 1986.9
⑵ 李建才, 杨文智等编 《中等数学解题研究》 河南教育出版社 1988.8
⑶ 林国泰主编 《初等代数研究教程》 暨南大学出版社 1996.8
⑷ 王林全主编 《初等几何研究教程》 暨南大学出版社 2001.3
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